Eukleides geometrisini herkes bilir. Bu geometriye göre bir üçgenin iç açıları toplamı 180º dir. Yani Aº+Bº+Cº=180º. Yaşamımızda da Eukleides uzayını kullanıyoruz. Örneğin şu anda Eukleides uzayına göre bir monitöre bakıyorsunuz.
Lobachevsky geometrisi diye bir geometri varmış. Sizi bilmem ama ben yeni öğrendim. Şimdi buna göre bir üçgenin iç açıları toplamı 180º den küçükmüş ve ikisi arasındaki fark üçgenin alanı ile orantılıymış. Yani 180º-Aº-Bº-Cº=sabit. Bu sabite atıyorum k dersek k/üçgenin alanı=çok küçük olması gerekiyor. Şimdi bu üçgeni Eukleides uzayında şöyle gösterebiliriz. Bu durumda bu üçgenin alanı da kendi yöntemiyle hesaplanmalı. Çok küçük olması geren bu sayının da küçüklük mertebesini bulamadım.
Lobachevsky uzayı Hollandalı ressam Mauritus C. Eschertarafından resmedilmiş. Bu resimdeki siyah balıklarla beyaz balıkların aynı biçim ve büyüklükte düşünülmesi gerekiyor.
Sonuç olarak şunu söyleyebiliriz: Eukleides uzayında Lobachevsky uzayını göstermek zor oluyor!
Kaynakça
yorumlar
kafama takılanlar var.
Çünkü sorulan soruya verilen cevapta farklı düzlemler arası geçiş var. Yani soruya muhattap olan şahıs aynı düzlem üzerinde yürüseydi bu cevap mümkün olamazdı. Daha doğrusu şöyle; yürüyen kişi doğrusal değil eğrisel yürüyor. İşin içine eğriler girincede öklid’den farklılaşıyor tabi.
Ben bu ikisi arasında bir çatışma görmememe rağmen yazıda sanki bir çatışma varmış hissi yaratılmış gibi geldi:
“bu problem ne zaman çözüldü acaba?”,
“öklid matematiği bir incildi” gibi…
bence burda anlatılan hepimizin çok güvendiği matemitiğin sadece bir bakış açısı olduğu ve farklı bir bakış açısıyla tamamen farklı bir matematik yaratılabileceği. Ancak bu yaratılan yeni matematik de şimdi ki kadar doğru olur. Yani matematik insan evrimiyle paralel gelişmiş. Eğer biz farklı evrimleşseydik farklı kuralları olan bir matematiğimiz olacaktı. Geometri için 2 bakış açısı da doğru, zaten sorun burdan doğuyor. Aynı konuda farklı 2 şeyin doğru olması bizim mantığımıza ters düşüyor oysa doğruluk kavramı çok boyutludur ve zıt 2 açıklama da doğru olabilir. Escher çizimlerinde çoğunlukla en az 2 farklı bakış açısıyla 2 farklı resimi bir resmin içine koymuş ve çok boyutluluğu anlatmaya çalışmıştır.
aynı konuda iki farklı şeyin doğru olması bizim mantığımıza ters düşer demişsin, bu yanlış bir önerme bence. çünkü “izmir için ankara’nın batısında” ve “istanbul’un güneyinde” iki iki farklı şey söylenebilir, bu durumda ikiside doğrudur ve ikisinin doğru olması mantığımıza ters düşmez. bahsettiğin, A=”istanbul izmir’in kuzeyinde” ve B=”istanbul izmir’in kuzeyinde değil” gibi iki zıt önerme ise yine mantığımıza ters düşmemesini sağlayabiliriz. dünya’nın kabul edilen kutuplarına göre düşündüğümüzde “A” önermesi doğru iken, “B” önermesi yanlıştır, ancak kuzey ve güney yönlerini, şu anda kabul edilenin tersi gibi düşünürsek B önermesi doğru olur. ikisinin aynı anda doğru olması için ise, önermeler şu şekilde düzenlenebilir; A=”şu an kabul edilen kuzey’i kuzey olarak alırsak, istanbul, izmir’in kuzeyindedir”, B=” şu an kabul edilen kuzeyi, güney kabul edersek, istanbul, izmir’in kuzeyindedir” vs.
çok güvendiğimiz matematik çok güvenilir olmayı sonuna kadar hakediyor aslında. bizim matematiğimiz’i kainat’ın her yerinde, her anında ve her koşulunda kullanabilirsiniz. işin içine fizik girdiği zaman, newton’a yüz çevirmek zorunda kalacağımız anlar olabilir.
newton un ortaya koyduğu kütle çekim bağıntıları varya ;
serbest düşen bir cisüm kütleden bağımsız bir ivme kazanır. [potansiyel enerji]f=m×g×h burdan son andaki hız [kinetik enerji formülü ]
f=½×m×v² şimdi
m.g.h=½×m×v²
burdan son andaki hız
v=[karekökiçinde]g×h/2
atmosfer içinde sorun yok ama newton abinin dediğine göre ~180000000 metre yükseklikten bırakılan bir cisim dünyaya çarptığında ışık hızına varmış olacaktır. ama olmuyor olamıyor, limit kavramı devreye giriyor. einstein iste burada sıçıyor newton’un fiziğine. peki şimdi bu özel durumda olmadı diye, tüm newton fiziğini tepecek miyiz? hayır, işimize geldiği gibi kullanacağız. bu aynı ışığın tanımındaki kargaşada görülebilir. “ışık dalga hareketidir” denir, birde “ışık parçacık [foton] hareketidir” denir. ikiside doğrudur. yansımayı açıklayabilmemiz için, dalga kuramını, fotoselde olduğu gibi, ışık enerjisinin, diğer enerjilere dönüşümünü açıklayabilememiz için parçacık kuramını kullanmamız gerekir.
söylemeye çalıştığım, fiziğimiz, kimyamız vs. eksikli olabilir ama matematiğimiz, her kuramı soyutlayıp çözümleyebiliyor. öyleyse sorun matematikte değil, sorun, bizim yarattığımız “matematik modellerde”. anlamaya çalıştığımız yer çekimini f=½×m×v² şeklinde modellediğimizde, matematik bizim istediğimiz cevabı bize verir, ancak modelimizde hata varsa, matematik bize yanlış sonucu verdiğinde, sorunu matematikten çok kendimizde aramalıyız.
escher insanlığın kafasını karıştırmak için varolmuş gibi görünüyor bana;o) gerçektende, paradoxal olarak isimlendirilen çizimlerin çoğu, geometriye ve fiziğe aykırılıklar göstererek aklımızı karıştırır. fakat atlanmaması gereken konu, çizimlerin, insan algısının zayıflıklarından (zayıflık pek doğru bir tabir değil aslında) faydalanması ile ilgili.
Lobachevsky yada bir başkası her ne yaparsa yapsın, tüm fizikte, kimyada, biolojide, tarihte devrim yaratabilir, ancak bu devrim için kullandığı matematik bizim matematiğimiz olduğundan, matematiği devirmek gibi bir şansı yoktur. geriye bir ihtimal kalıyor “kendi matematiğini oluşturmak” bunun ile kimsenin uğraşmamasının nedeni, matematiğimizin yeterli olmasında yatıyor zaten. acelem olduğu için şimdilik burada kesiyorum ancak, bu konularda konuşmak isteyenlere “ardına kadar açık kapı” tiplemesini gayet başarılı oynayacağımı da belirtmek istiyorum.
Üst düzey bir konu. Lise yıllarımda olsaydım katılabilirdim ama şimdi benim için çok zor. Yalnız bana evrende çok uzun zamandır her şey mümkündür gibi geliyor. Yani matematiğin de öyle ve böyle olması gibi. Bazen de ama, yıllar önce okuduğum fizikteki belirlenemezlik (öyle miydi acaba) ilkesini hatırlıyorum. Mikrokozmosta (makro muydu yoksa) bir cismin hızını bilirsen yerini bilemezsin, yerini bilirsen hızını bilemezsin. O zaman da her şey mümkün değilmiş gibi geliyor. Yani tek bir matematik, hepsi onun yan kolları. Bilimsel teorilerin bir olayı farklı farklı görebildiklerini de biliyorum ve hangi boyuta ilişkinse onunla ilgili açıklamalarda kullanılabileceğini kabul ediyorum, dalgacık parçacık yani.
yillarca ozel mat hocami falan siki$tirdim. acaba non-euklidian geometry hakkinda ne ogrenebilirim diye.. ustteki her$eyi biliyodum ara yetmiyodu. super bir konudur cok eglencelidir.. ama tam olarak hakim olmadiginiz zaman bir anlam ifade etmez. yani bizim oklid sistemleri gibi ucgenin ic acilari toplami 180’dir falanla i$in icinden cikilmiyor ben bunu anladim..
ve farkettim ki yogun kar yagisi nedeniyle eve kapanan gencler vermi$ kendilerini akademik tezlere.. hadi bakalim..
yapmayın böyle şeyler anlamıyorum beynim karıncalanıyor…
oklid geometrisi bildigimiz kagit veya duvar gibi duz yuzeylerde isliyor..yuzeyin niteligi degisince uzerindeki geometri de degisiyor, ve genelde bu yeni geometrinin belirleyicisi, oklid geometrisinin son aksiyomu olan paralel dogrular aksiyomunun ne kadar degistigi ile belirleniyor..
mesela dunya yuzeyi de bir baska oklid-disi geometriye uyuyor, en basit ornegi de ekvatordan diklemesine ciktiginiz iki paralel (meridyen) kutupta birlesiyor ve bir ucgen olusturuyor..iki dik aci tabanda, arti bir de tepe aci; ucgenin ic acilari toplami 180’den buyuk oluyor..misal…
kuantum fiziğine göre, parçacığın tam yerini bildiğinde hızını tam olarak bilemezsin, hızını tam olarak bildiğinde yerini tam olarak bilemezsin. bunun neden böyle olduğunu tam olarak biliyorum ama neden böyle olduğunu bilemiyorum. bunu diyorum bende, bildiğimiz kullandığımız fizik her yere uymaz, ama matematiğimiz uyar.
keşke kar yağsa burada da hakikatten iyi olacak.
Orası neresi bilmiyorum ama teşekkür ederim.