Her şey 1900 yılında matematikçiler arasındaki akademik bir tartışmayla başladı. İngiliz matematikçe ve 1950 yılında nobel edebiyat ödülü alan Bertrand Russel ilk büyük paradoksu ortaya attı. Russel paradoksu şöyle: Bir editör, kendi adını içermeyen bütün katalogların kataloğunu yapmak istiyor. Kendi adını içermeyen kataloglara örnek olarak şunu verebiliriz mesela , elimizde Türk Şarapları Kataloğu olsun. Bu kitap, şarap olmadığından kendi adını içermeyecektir. Buna karşılık bir Kitaplar Kataloğu kendi adınıda içermelidir; çünkü kendiside bir kitaptır. Yukarda sözünü ettiğimiz editör, bir Kitaplar Kataloğu oluşturmak peşinde değil. O kendi adını içermeyen katalogların katoloğunu yapmak istiyor. Russel paradoksu şundan ibaret: Kendi adını içermeyen katologların kataloğu, kendi adını içermeli midir?
Bu katalog, kendi adını içerirse , kendi adını içeren kataloglar grubuna girer; oysa bu, kendi adını içermeyen katalogların kataloğudur; demek ki bu katalog kendi adını içeremez. Fakat bu katalog kendi adını içermezse, kendi adını içermeyen kataloglar grubuna dahil olur ki o zaman da kendi adını içermesi gerekir. Bu açıkça bir paradokstur; çünkü mantık kendi adını içermeyen katalogların kataloğu’nun hem kendi adını içermesini, hem de içermemesini emretmektedir. İki doğru olamayacağına göre burada paradoks vardır.
Russel paradoksuna benzer bir paradoks ise ünlü Giritli paradoksudur. Bir Giritli “ben hep yalan söylerim” diyor. Giritli gerçekten yalancıysa, bu söylediğide yalandır; yani aslında hiç yalan söylememektedir; yani doğrucudur. Fakat giritli doğrucuysa bu son söylediğide doğrudur; yani aslında o bir yalancıdır. Mantığımız bize Giritliyi doğrucu kabül edersek onun yalancı, yalancı kabül edersek doğrucu olması gerektiğini söylüyor. Demek ki Giritli’nin yalancı mı doğrucu mu olduğuna karar veremiyoruz. Bu tam bir paradokstur; çünkü birbirine karşıt iki yanıt da doğru sonuç veriyor, oysa gerçek tektir; Giritli hem yalancı hem de doğrucu olamaz.
Russel paradoksu kümeler kuramına dayanır. Bir katalog, elemanlar içeren bir küme olarak düşünülebilir.
Kümeler kuramını İtalyan matematikçi Guisseppe Peano öne sürmüştü. Bu kuram Antikite’den bu yana elde edilmiş birçok matematiksel sonucu birleştiriyor ve bir düzene koyuyordu. Amaa işte sonuçta düzenleyicinin kendisi düzen yerine paradoks yaratıyordu. Paradoks matematik için kabul edilemez bir sonuçtur çünkü matematik tek doğru ister.
Bunun üzerine David Hilbert, anlamlarından soyutlanmış matematik sembolleri birbirine bağlayan tutarlı ve çelişkisiz olduğunu göstermek için meta-matematiği başlattı. Meta-matematik matematik konularını değil matematiğin kendisini incelemek olacaktı. Yani bu sav ile matematiği mekanik bir şekilde ifade etmek için gerekli mantık kurallarını bulmak istiyordu.Eğer bunu başarabilirse bütün matematik teoremleri bilgisayarın bir tuşuna basarak elde edebilecekti. Bu mutlaka matematiği daha sağlıklı kılacaktı fakat bi yandan da matematiği kısırlaştıracaktı. Nevar ki programın başarısına bir mantık kuralı engeldi. Örneğin dil uzmanları, gramer kurallarının temelini oluşturmak isterken, sözcüklerin anlamlarını dışlasalardı kendilerini bir paradoks içinde bulurlardı. Gramerin temelini oluşturmak için hem sözcüklerin anlamına hem de gramer kurallarına gerek vardır. Kısacası burda bir kısır döngü vardır. Bundan kurtulmak için önce birkaç sözcüğün anlamını ve çok açıkça belli bazı gramer kurallarını önceden kabül etmek gerekir.
Paradoksun resmi
Hilbert oyunun kurallarını koydu: Sağlam bir mantığın temelleri olarak tamsayılar ve onların elemanter özellikleri 1+1=2 alınabilirdi. Hilbert basit mantık kuralları kullandı, açıkça belli matematik kavramlardan şu sonuca vardı: Doğru matematik sonuçların hepsine gerçek matematikten yola çıkarak varılabilir.
Hilbert mantık kuralllarını gerçek matematiğe uygulamak istiyordu. Örneğin “insanlar ölümlüdür. Sokrat da insandır. O halde Sokrat da ölümlüdür” önermesi Hilbert’e göre 2×3=6 tipinden basit bir işleme eşdeğerdir. Böyle bir sistemin kurulmasındaki zorluk, mantık önermeleriyle sayısal işlemler arasında bir yakınlık gerektirmesiydi. Örneğin m ve n gibi iki mantık önermesinin sonucu mxn=p olmalıydı. Bunun olabileceğini o zaman 25 yaşında olan matematikçi Kurt Gödel gösterdi. Her türlü mantık önermeleri, Gödel sayıları denen sayıların basit işlemleriyle gösteriliyordu( bu sayolar asal sayılar ve onların kuvvetleri).
Mantıkta her önerme ya yanlış ya da doğrudur. Örneğin A önermesi “insan bir agaçtır” yanlıştır: bunun karşıtı anti-A ise doğrudur. “insan bir ağaç değildir” Bu özelliğe dayanarak Gödel. G önermesini yaptı: Öyle bir A önermesi bulunabilir ki ne A ne de A’nın karşıtı anti-A doğrudur. Sonra G önermesine karşılık olan sayıyı hesapladı ; bu sayının iki tam sayının çarpımı olduğunu hesapladı. Ve böylece matematikte daima gösterilmeyen gerçekler olabileceği ispatlanmış oldu. Örneğin bir bilgisayara hayal edilebilecek bütün matematik kuralları verilse bile bilgisayar bazı problemleri asla çözemeyecekti.
Gödel şunu kanıtlamış oldu, bir dilin tam anlamı, aynı dilde yapılamaz; çünkü bu yolla bir cümlenin doğruluğu tanımlanamaz.
Bu kural psikolojide de uyguland: İnsan çözümsür bir problemle karşılaştığı zaman şizofrenik bir davranış gösterir ve bu durumdan ancak tedavi edilerek çıkabilir(şizofrenlerde karşıt değerlik-ambivalens-dene bir belirti vardır, bu bir şizofrenin birbirinin karşıtı olan durumların ikisini de doğru kabül edebilmesidir. Bir şizofren her şeyi hem var hem yok, bir canlıyı hem yaşar hem ölü, bir insanı hem dost hem düşman kabül edebilir, şizofren mantığına göre Russel ve Giritli problemleri bir paradoks oluşturmaz)
Başlangıçta matematikçilerin çoğu, bu kadar garip ve soyut bir sonucu küçümsediler. Fakat yavaş yavaş orada burada çözümsüz problemler ortaya çıkmaya başladı. İşte çözümsüz problemlerden biri daha:”bir düzlemin döşenmesi”. Elinizde değişik geometrik şekillerde bir yığın kağıt parçası olsun; ardarda rastgele şekiller alarak, delik ve örtüşme oluşturmadan düzlemi tamamen döşeyebilir misiniz?
Bu problem matematikle çözülemez. Gerçek şudur ki parçaların şekillerini içeren bir algoritma size bunlarla bir deliksiz ve örtüşmesiz döşenebilir veya döşenemez diyemez. Fizik gibi matematik de özel olgulardan çok, genel kurallarla ilgilendiğinden karar verilemez durumlarla ilgilenmeye başladı.
Bir diğer karar verlemez durum enfromatiğe aittir; fakat insanlara da uygulanabilir. Bu diğerlerinden de zordur: bir enformatik programın asla hiçbir şeye yaramayan bir sonuca varamayacak komutlardan oluşup oluşmadığını önceden belirleyebilecek hiçbir yöntem yoktur. İnsan genomundaki baz sırasını belirleme çabaları bu matematiksel olanaksızlık duvarına çarpmaktadır. Bir gün genlerin şifresi çözülse bile, genetikçiler, görünüşte bir işe yaramayan genom baz sırasını bulmak için bilgisayarların gücünü kullanamıyacaklardır, çünkü hiçbir bilgisayar programı asla bütün genlere uygulanamaz.
Daha da karmaşık olan bir problem hayat oyunudur. Amerikan matematikçisi John Conway’in bulduğu bu oyunu göre; satranç tahtası üzerinde rastgele bir sayıda piyonlar vardır. Oyun iki kurala göre oynanır : Birinci kural: Eğer boş bir kare, üç piyonla çevriliyse gelecek hamle oraya bir piyon konulanabilir. İkinci kural: Bir piyonun komşusu olan piyonların sayısı ikiden azsa ya da üçten fazlaysa o piyon tahtadan çıkartılır.
1970’lerde bu oyunun sonucunun karar verilemez cinsten olduğu kanıtlandı. Bir başka deyişle, başlangıçtaki piyon dağılımı ne olursa olsun, bütün piyonların tahtadan kaldırılacağımı yoksa oyunun sonsuza kadar devam edeceği mi önceden söylenemez.
Bu oyun piyon içeren birimlerin biçimlerini ya da piyonlar arasındaki rekabet kurallarını değiştirerek daha karmaşık hale getirilebilir. Bunlarla karar verilemezlik daha da artar. Bu oyuna bakarak hayvan türlerinin(insan dahil) evrimi belirlenmek istenirse bu simülasyon söz konusu türlerin yok mu olacağı deva mı edeceği konusunda bizi aydınlatamaz. Bu problem bilgisayara verilirse sonsuza dek beklemek gerekir.
