bildirgec.org

Pi’nin basamaklarında yinelenen sayılar ve kendini çizdiren formül yazılarından anlaşılıyor ki hafif camiasında matematiğe, matematik dünyasındaki ilginçliklere benim gibi ilgi duyan az insan yokmuş. Buyrun o zaman; yine konumuz matematik.Yanyana çakılmış eşit genişlikte tahta parçalarından oluşan ahşap bir masa düşünün. Bu masanın üzerine, belirli bir yükseklikten bir iğne bırakın. İğne tahtalar arasındaki çizgileri kesen bir pozisyonda mı düştü, yoksa hiçbir çizgiye dokunmuyor mu? Bir tane daha atın. Bu sefer ne oldu? İki durumdan birinin olma olasılığı nelere bağlı? Bu deney doğa bilimcisi, matematikçi Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon‘un aklına 18. yüzyılda takılmış. Kendisi olasılık teorisi konularına türev ve integrali sokmuş ve olasılık teorisi üzerine oldukça fazla kafa yormuş bir aydınlanma dönemi bilim adamı. Buffon’dan daha sonra biraz bahsedeceğiz; önce şu deneye dönelim. Buffon’un İğne Problemi: “l” uzunluğunda bir iğne, aralarında “t” birim uzaklık olan paralel çizgilerden oluşan bir zemine düştüğünde çizgilerden birini kesme olasılığı nedir? Birçoğumuz metematikçi değiliz ama yine de şöyle biraz kafa yorarsak bu problem bizi ilginç bir noktaya götürüyor.

Durumun gösterimi

İğnenin çizgileri kesme olasılığı iğnenin orta noktasının en yakın çizgiye olan uzaklığı ve iğnenin çizgilerle oluşturduğu açıya bağlıdır. Çok sayıda iğne attığınızda kaç iğnenin çizgileri keseceğini de hesaplamak isterseniz, biraz türev biraz integral (çözüm detayı için şuraya bakılabilir) sonucunda ortaya iğne uzunluğu, çizgiler arasındaki uzaklık, atılan toplam iğne sayısı, çizgileri kesen iğne sayısı ve bizim ünlü pi sayısını içeren bir sonuç formülü çıkar (pi’nin bağlantısı açıdan kaynaklanır). İğnenin uzunluğunu ve çizgiler arasındaki uzaklığı bildiğinizde, pi’yi hesaplamak için geriye çizgilere doğru çok sayıda iğne atıp kaçının çizgileri kestiğine göz atmak kalır. (n adet iğne bırakırsak ve h kadarı çizgileri keserse)

pi hesaplamanın bir yolu

Evet, bu olasılık probleminin ilginç yanı bu: pi sayısının değerini bulmanın olasılık kullanılan bir yöntemi olması.İtalyan matematikçi Lazzarini 1901 yılında bu deneyi gerçekleştirmeye karar vermiş ve düzeneğini kurup 3408 tane iğneyi çizgilerin üzerinden bırakarak sayıları bir yere not etmiş. Deneyin sonuçlarını formüle yerleştirdiğinde pi sayısının değerini 355/113 gibi müthiş yakın bir değer olarak saptamış. Ancak bu süper sonucu elde etmek için ufak hileler de karıştırmamış değil işin içine. İğne uzunluğunu çizgilerin aralarındaki uzaklığın 5/6sı olacak şekilde seçmiş. Bu durumda iğnelerin çizgileri kesme olasılıkları formüle göre 5/3pi oluyor. Yani n adet iğne düştüğünde x adet iğne çizgileri keserse pi = 5/3.n/x oluyor. pi’ye 355/113 dersek çizgileri kesecek iğne sayısı (x) yaklaşık 113n/213 olur. Bu da şu demek, eğer 213ün katı bir sayıda iğne atarsanız (ki 3408 = 16 x 213tür) güzel bir sonuç elde etmeniz neredeyse kaçınılmaz. Yani Lazzarini sondan başa doğru gitmiş. Ama yine de bu deneyin pi sayısını bulmanın güzel bir yolu olduğunun ispatını yapmış kendisi.Bu deneyin simulasyonlarına internette rastlamak mümkün. Şurada ve şurada javascript simulasyonlarını şurada da flash ile hazırlanmış bir simülasyonunu görebilirsiniz. İzlemesi de sonuçlar da çok ilgi çekici.Bu problem ile ilgili birşeyler okurken Buffon hakkında da okudum doğal olarak. Bugüne kadar bilmediğim ve beni şaşırtan bazı bilgileri de bu yazıya eklemek istedim. Buffon, Jean-Baptiste Lamarck (hani şu kullanma kullanmama prensibini hatırlarsınız) ve Charles Darwin’i çok etkilemiş bir bilim adamıymış; enteresan. Yukarıda da belirtiğim gibi matematikten çok aslında doğa bilimi ile uğraşan Buffon çevre koşulları benzer de olsa farklı bölgelerde farklı hayvan ve bitkilerin olduğuna (ki buna Buffon kanunu deniyormuş) dikkat çekmiş. Türlerin geliştikleri ve bozuldukları (yani evrildikleri) sonucuna ulaşmış ve bunu kitabında yazmış. Hatta daha da şaşırtıcısı maymunlar ve insanlar arasındaki benzerliğe dikkat çekmiş olması. Buffon’u okudukça şaşkınlığım arttı, güneş sisteminin başlangıcına kafa yormuş kendisi ve gezegenlerin oluşumunu bir kuyrukluyıldızın güneşe çarpmasına (günümüzde bile geçerliliğini koruyan bazı hipotezlere benzer biçimde) bağlamış. Daha da ileri gitmiş ve daha 1700lerde dünyanın yaşını hesaplamaya girişmiş. Demirin soğuma hızını temel alan hesaplamaları sonucunda dünyanın yaşını 75.000 bulmuş. Kilisenin söylemlerine (ki onlar dünyanın İsa’dan önce 4004 yılında oluştuğunu söylüyorlarmış o zaman) çok ters düşen bu açıklamayla da kilise tarafından kınanmış ve kitapları toplatılarak yakılmış. Yani aslında birçok konuda ilk isimler olarak bildiğimiz çok sayıda bilimadamına çığır açanlardanmış Buffon.