Geçen hafta Pi’nin basamakları arasında saklı yinelenen rakamlardan söz etmiştik. Bu hafta da matematik dünyasından çarpıcı bir formüle göz atacağız.Toronto Üniversitesi Bilgisayar Bilimleri Bölümü’nden Jeff Tupper, kendi geliştirdiği GrafEq isimli formül grafiklerinin çiziminde kullanılan uygulama ile ilgili yöntemlerden bahsettiği makalesinde, resimdeki eşitsizlikten sözeder.
Tupper’ın eşitsizliği
Bu eşitsizlikte, alt kısmı köşeli parantezler, matematik ve programcılıktaki floor fonksiyonunu temsil etmekte (bilmeyenler için: tamsayı olmayan bir sayı için, o sayıdan küçük en büyük tam sayıyı döndüren fonksiyon). mod ise, moduloyu yani bir bölme işleminde kalanı döndüren fonksiyonu temsil etmekte.Eşitsizliği 0<x<<106 ve n<y<n+17 aralıkları ve n = 960939379918958884971672962127852754715004339660129306651505519271702802395266424689642842174350718121267153782770623355993237280874144307891325963941337723487857735749823926629715517173716995165232890538221612403238855866184013235585136048828693337902491454229288667081096184496091705183454067827731551705405381627380967602565625016981482083418783163849115590225610003652351370343874461848378737238198224849863465033159410054974700593138339226497249461751545728366702369745461014655997933798537483143786841806593422227898388722980000748404719 (biliyorum şaka gibi bir sayı ama napalım :o) ) için çizdirdiğinizde ortaya çıkan monokrom bitmap görüntü formülün kendisi olur. Yani formül aslında kendisini çizdirmektedir.
Sonuçta ortaya çıkan imaj
Formulün JavaScript ile gerçeklenmiş halini ve bu gerçeklemenin çizilişini izlemek için şurayabakabilirsiniz.Tupper bu formülü “tamamıyle şokedici” olarak nitelemiş. Gerçekten de kendisini çizdiren formül düşüncesi oldukça çarpıcı. İşin aslı, bu formül bir bitmap imajı bir sabitte kodlamak için kullanılan genel amaçlı bir formüldür ve sadece belirli bir tamsayı aralığında (ki bu yukarda yazılı koca tamsayı ve onun 17 fazlasıdır) kendi imajına karşılık gelmektedir. Tabi böyle bir şeyle karşılaşma olasılığı ne kadardır bilinmez. Matematik dünyasının ilginçliklerine bazen akıl sır ermiyor.
yorumlar
aman yarebbim
çok güzel bir yazı
güzel olmuş!
ohaa diyorum başka birşey demiyorum.
bu javascript kodunu bulabilirmiyiz acaba?
bana bu işin sırrı o n’de gibi geldi. bana yeterli büyüklükte bir n verin dünya haritası çizeyim, heheh.
hımmmm ki ne hımmmm.o değil pi sayısı 3,14’tü değil mi?
pi
Otur evladım,sıfır!
Çok ilginç gerçekten.
hocammm ben anlamadim konuyuuuuuu
acaba işin espirisi n= diye verilen sayıda mı? bitmap e çevirirken bu sayı kullanıldığı için mi kendini çizdiriyor? bunun çiçek çizdireni de var mıydı?
evt, işin esprisi n’de.http://reddit.com/info/yxxw/comments/cz06u
@ufopilotu, TupperPlot.jsEşitsizliği sağlayan noktaları siyaha boyayarak, sağlamayan noktaları beyaz bırakarak tüm pozitif tamsayılar için çizdiğinizi düşünün. Bunu büyüüüüük bir kağıda bastırın. Ortaya çıkan resmin çooooook yukarılarında (y eksenine yakın) bir yerlerde eşitsizliğin kendisini göreceksiniz. Belki böyle düşününce daha anlaşılır olur @haritametoddefteri.
axis orjin olayi haa.denemekte fayda var
biraz daha aciklarsak:soyle bir fonksiyon tanimlayalim,f(x,y) = 1 + x + yBurada (x,y) duzlem uzerindeki bir takim noktalar olsun, diyelim ki ilgilendigimiz noktalar 0<=x<=2; 0<=y<=2 araliginda.bu aralik icin f(x,y) ifadesini tablo haline getirsek:y=2...3,4,5y=1…2,3,4y=0…1,2,3x=…..0,1,2burada koyu ifadeler f(x,y) fonksiyonun ilgilendigimiz araliktaki (0<=x<=2; 0<=y<=2) farkli (x,y) ikilileri icin degerleridir. Yani y=1 satiri ve x=2 sutunlarinin kesistigi noktada f(2,1)= 1+ 2+ 1=4 yer aliyor.Tuppler fonksiyonu daf(x,y) ={ 0 Esitsizlik saglanirsa{ 1 Esitsizlik saglanmazsaEsitsizlik:
Burada y 17’e x, 100 kusur’e kadar gidiyor.
olarak verilmis. Bu fonksiyon bizim yazdigimizdan farkli olarak ciktisinda (range) sadece iki deger olan (0 veya 1) bir fonksiyon: Yani f(x,y) sonucu her (x,y) ikilisi icin 0 yada 1 oluyor.Simdi f(x,y) ciktisindaki 0’i siyah noktalar, 1’i de beyaz noktalar (pixel) olarak gostersek ve cikan sonucu bir bitmap resim olarak kaydetsek ne olur ?cikan resim:
Öncelikle tarihi hatalardan birini önlemeye çalışayım. Birincisi rakamlar ve dizelerin tamamı ve 10’luk sayı sistemi de dahil alayı import kültürdür, günümüz insanoğlunun sahip olduğu bir yorumlamadır ve düşe kalka ilerliyoruz. Burada formülün geçerliliği başka bir şeydir kendisini çizdirmesi bambaşka. Kısaca o formülün kullandığımız hiyeroglifin karşılığı görünümünde olması. Matematiğin evrensellik anlayışından uzak psikolojik bir göz boyamadan başka bir şey değil. Rakamlar ve şekiller birer resimdir sadece ve anlamı onu üreten kültürün içinde yatar!İkincisi zaman boyutlandırma ve geometral hatalardır. Örneğin zamanın temel boyut olması fikri (stephan hawkings) ve kristal yapı (üçgenler) zamana dayalı yapılar (dairesel formlar) ve sonsuzluğun resmedilişi spiral formlar.Pi sayısının temelinde daire formunun hangi boyutta algılandığıdır. Tam bir ölçüm için belirsizlik ilkesine göre kürenin kesitini almalısınız ve zaman boyutunun dışında bir ölçüm yapmalısınız. Dönüş hareketini sıfırlayacağınızdan karşınıza bir yirmigen çıkar-yarıçapı 316- Bu rakam ilginçtir mısırlıların 3,16 sayısı ile ilişkilidir. Ve hatta kök 10 olarakda düşünülebilir. Fakat unutulmamalıdır ki bu import kültürümüzün ithalatçısı olan arkadaşların rhind papürüsünü buluşumuz ve dünya enformatik teknolojilerinin gelişim tarihlerine? Tekrar hatırlatırım bizim kullandığımız 3,14 antik yunanlı matematikçilerin yorumu ve geliştirilmiş(daha çok hanesi doğru hesaplanmış) durumudur. Kültürünü anlayamadığımız adamların yanlış yaptığı düşünülmüş antik yunanda işin ilginci hala daha öyle. Büyük bir mantık hatası var!!!
ben yirmigende takıldım
ee gerçek hayatta ne işe yarıyo peki bu?
Hem 6 yıl matematik okudum, hem programcıyım. Alt kısmı köşeli parantez notasyonunu ilk defa görüyorum.Bırakın ben de kendimi çizicem…
@Helplessness, sen söyleyince ben de farkettim ki, işin o tarafını araştırmamışım. Acaba dedim sırf uysun diye mi o notasyonu kullandılar. Ama değilmiş.. Aşağıdaki iki kaynak da bu notasyonu doğruluyor. (daha fazlası da var ama iki yeter diye düşündüm)http://mathworld.wolfram.com/FloorFunction.htmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Floor_function